2014年全国卷2理科数学试题及答案

 时间:2014-07-01  贡献者:孙启富

导读:2014高考全国卷2理科数学试题及答案; 2014年高考新课标二卷理科数学,2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)第Ⅰ卷一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.1.设集合 M=

2014高考全国卷2理科数学试题及答案; 2014年高考新课标二卷理科数学
2014高考全国卷2理科数学试题及答案; 2014年高考新课标二卷理科数学

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)第Ⅰ卷一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.1.设集合 M={0,1,2},N=x | x2  3x  2≤0,则 M  N =( )A. {1}【答案】D 【解析】B. {2}C. {0,1}D. {1,2}把 M={0,1,2}中的数,代入不等式 x2 - 3x+2 ≤0, 经检验 x=1,2 满足。

所以选 D.2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1  2  i ,则 z1z2  ( )A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】B 【解析】 z1 = 2+i, z1与z2关于虚轴对称,∴z2 = -2+i, ∴ z1z2 = -1- 4 = -5,故选B.3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a  b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】| a+b |=10, | a - b |=6,,∴a22+b+2ab=10,a22+b-2ab=6,联立方程解得ab =1,故选A.4.钝角三角形ABC的面积是1 2,AB=1,BC=2,则 AC=(A. 5B. 5C. 2【答案】B 【解】) D. 1

SΔABC=1 2acsinB=1 2•2 •1•sin B = 1 ∴sin B = 22, 2∴B = π ,或 3π .当B = π 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去。

444∴B = 3π ,使用余弦定理,b2 = a2 +c2 - 2ac cosB, 解得b = 5.故选B. 45.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两为优良的概率是 0.6, 已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ()A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45【答案】 A 【解析】设某天空气质量优良,则随后一个空气质量也优良的概率为p, 则据题有0.6 = 0.75• p,解得p = 0.8,故选A.6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件 由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的 比值为( )A.17 27B.5 9【答案】 C【解析】C. 10 27D.1 3 加工前的零件半径为3,高6,∴体积v1 = 9π • 6 = 54π.  加工后的零件,左半部为小圆柱,半径2,高4,右半部为大圆柱,半径为3,高为2.∴体积v2 = 4π • 4+9π • 2 = 34π. ∴削掉部分的体积与原体积之比= 54π - 34π = 10 .故选C.54π 277.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 C【解析】

x = 2,t = 2,变量变化情况如下:MSK131252273故选C.8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】 D【解析】 f (x) = ax - ln(x+1),∴f ′(x) = a - 1 . x +1∴f (0) = 0,且f ′(0) = 2.联立解得 a = 3.故选D. x  y  7≤09.设x,y满足约束条件 x3y1≤0,则z2xy的最大值为()3x  y  5≥0A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】 B【解析】画出区域,可知区域为三角形,经比较斜率,可知目标函数z = 2x - y在两条直线x - 3y+1= 0与x+ y - 7 = 0的交点(5,2)处, 取得最大值z =8.故选B.10.设 F 为抛物线 C: y2  3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A. 3 3 4【答案】 D 【解析】B.93 8C.63 32D.9 4

设点A、B分别在第一和第四象限,AF = 2m, BF = 2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m = 2• 3 + 3m,2n = 2• 3 - 3n,解得m = 3 (2+ 3),n = 3 (2 - 3),∴m+n = 6.4422∴SΔOAB=1 2•3 4•(m+n)=9 4.故选D.11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )A.1 10B.2 5C. 30D.102 2【答案】 C【解析】如图,分别以C1B1,C1A1,C1C为X ,Y , Z轴,建立坐标系。

令AC = BC = C1C = 2,则 A(0,2,2), B(2,0,2),M (1,1,0), N (0,1,0).∴ BM = ( -1,1,- 2),AN = (0, -1,- 2)。

cosθ = BM • AN = 0 -1+4 = 30 .故选C.| BM | • | AN | 6 5 1012.设函数 f  x 3sinx m.若存在f x 的极值点x0 满足 x02f x0 2m2 ,则m的取值范围是( )A. ,6 6,B. ,4 4,C. ,2 2,D. ,1 4,【答案】 C 【解析】

 f (x) =3 sin πx 的极值为 ± m3,即[f(x0 )]2=3,|x0|≤|m 2|,∴x0 2+[f(x0)]2≥m2 4+3,∴m2 4+32.故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答.第 22 题 ~第 24 题为选考题,考生根据要求做答.二.填空题13.  x  a10 的展开式中, x7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)1 【答案】 2【解析】C130x7a3=15x7∴C130a3=15,a=1 2.故a=1 2.14.函数 f  x  sin x  2  2sin cos x  的最大值为_________.【答案】 1 【解析】 f (x) = sin(x+2φ) - 2sin φ cos(x+φ) = sin(x+φ) • cosφ+cos(x+φ) •sin φ - 2sin φ cos(x+φ) = sin(x+φ) • cosφ - cos(x+φ) •sin φ = sin x ≤1.∴最大值为1.15. 已 知偶 函 数 f  x 在 0,  单 调 递减 , f 2  0 . 若 f  x 1  0 , 则 x 的 取 值 范 围是__________.【答案】 (-∞,-1)∪(3,+∞)【解析】 偶函数y = f (x)在[0,+∞)上单增,且f (2) = 0 ∴ f (x)>0的解集为| x |> 2. ∴ f (x -1)>0的解集为| x -1|> 2,解得x ∈(-∞,-1)∪(3,+∞). 故解集为| x -1|> 2,解得x∈(-∞,-1)∪(3,+∞).

16.设点 M( x0 ,1),若在圆 O: x2  y2  1上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是________.【答案】 [-1,1]【解析】在坐标系中画出圆O和直线y =1,其中M(x0,1)在直线上. 由圆的切线相等及三角形外角知识,可得x0 ∈[-1,1].故x0 ∈[-1,1].三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)  已知数列 an 满足 a1 =1, an1  3an 1.  (Ⅰ)证明an1 2是等比数列,并求an 的通项公式;(Ⅱ)证明: 1  1 …+ 1  3 .a1 a2an 2【答案】 【解析】 (1)(1) 无(2) 无 a1 =1, an+1 = 3an +1.n∈N *.∴an+1+1 2=3an+1+1 2=3(an+1 2).∴{an+12}是首项为a1+1 2=3 2,公比为3的等比数列。

(2)由(1)知,an+1 2=3n 2,∴ an=3n -1,1 2 an=23n. -11 a1=1,当n >1时,1 an=2 3n -1<1 3n-1.1∴1+ 1 a1 a2+1 a3++1 an<1+1 31+1 32++1 3n-1=1-3n 11-=3(1 2-1 3n)<3 2.3所以,1 + 1 + 1 + + 1 < 3,n∈ N *(. 证毕)a1 a2 a3an 218. (本小题满分 12 分)

如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC;(Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.【答案】 (1) 无(2) 无【解析】(1)设 AC 的中点为 G, 连接 EG。

在三角形 PBD 中,中位线 EG//PB,且 EG 在平面 AEC 上,所以 PB//平面 AEC.(2)设 CD=m, 分别以 AD,AB,AP 为 X,Y,Z 轴建立坐标系,则A(0,0,0), D( 3,0,0), E( 3 ,0, 1),C( 3, m,0). 22∴ AD= ( 3,0,0), AE = ( 3 ,0, 1), AC = ( 3, m,0). 22设平面ADE法向量为n1 = (x1, y1, z1),则n1 AD = 0, n1 AE = 0,解得一个n1 = (0,1,0).同理设平面ACE法向量为n2 = (x2 , y2 , z2 ),则n2 AC = 0, n2 AE = 0,解得一个n2 = (m,- 3,- 3m).cosπ 3=|cos|=|| n2 n2 |• •n2 | | n2|=3= 1 , 解得m = 3 .m2 +3+3m2 22设F为AD的中点,则PA// EF,且PA= EF = 1 , EF ⊥面ACD, 22即为三棱锥E-ACD的高.∴VE-ACD=1 3•SΔACD•EF=1 3•1 2•3 2•3• 1 = 23 .8所以,三棱锥E - ACD的体积为 3 。

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19. (本小题满分 12 分)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表:年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号 t1234567人均纯收入 y 2.93.33.64.44.85.25.9(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情 况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:n bti  ti 1 n yi y, aˆy bˆtti  t 2i 1【答案】 (1) y = 0.5t +2.3.(2) 约 6800 元【解析】(1) t = 1+2+ +7 = 4, y = 2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9 = 4.377设回归方程为y = bt +a, 代入公式,经计算得b = 3*14+2+0.7+0+0.5+1.8+4.8 = 14 = 1 ,(9+4+1) * 214*2 2a = y - bt = 4.3 - 1 * 4 = 2.3 2所以,y关于t的回归方程为y = 0.5t +2.3. b = 1 >0,∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长,预计到2015年, 2该区人均纯收入y = 0.5•9+2.3= 6.8(千元)所以,预计到2015年,该区人均纯收入约6千8百元左右。

20. (本小题满分 12 分)设 F1 , F2 分别是椭圆x2 a2y2 b2 1 a b  0 的左右焦点,M是C上一点且 MF2 与x轴垂直,直线

MF1 与 C 的另一个交点为 N.(Ⅰ)若直线MN的斜率为3 4,求C的离心率;(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN  5 F1N ,求 a,b.1 【答案】 (1) 2(2) a = 7,b = 2 7【解析】 (1)由题知,MF1 = 3 ∴ b2 • 1 = 3 ,且a2 = b2 +c2.联立整理得:2e2 +3e - 2 = 0, F1F2 4 a 2c 4解得e = 1 .∴C的离心率为1 .22(2)由三角形中位线知识可知,MF2=2• 2,即b2 a=4.设F1N = m,由题可知MF1 = 4m.由两直角三角形相似,可得M , N两点横坐标分别为c,- 3 c.由焦半径公式可得: 2MF1=a+ec,NF1=a+e(-3 2c),且MF1:NF1=4:1,e=c a,a2 = b2 +c2.联立解得a = 7,b = 2 7.所以,a = 7,b = 2 721. (本小题满分 12 分)已知函数 f  x = ex  ex  2x (Ⅰ)讨论 f  x 的单调性; (Ⅱ)设 g  x  f 2x  4bf  x ,当 x  0 时, g  x  0 ,求 b 的最大值;(Ⅲ)已知1.4142  2  1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

【答案】 (1) f (x)在R上单增【解析】 (1)(2) 2f(x) = ex- e-x- 2x,x∈R∴f′(x) = ex+e-x- 2 = ex+1 ex-2≥2ex•1 ex- 2 = 0.所以,f (x)在R上单增.(2)g(x) = f (2x) - 4bf (x) = e2x - e-2x - 4x - 4b(ex - e-x - 2x) > 0, x > 0. 令h(x) = e2x - e-2x - 4x - 4b(ex - e-x - 2x), x > 0,则h(0) = 0. h′(x) = 2e2x + 2e-2x - 4 - 4b(ex +e-x - 2),∴∃x∈(0,m),m > 0,使h′(x) ≥0. 即2e2x + 2e-2x - 4 - 4b(ex +e-x - 2) ≥0 即e2x +e-2x - 2 - 2b(ex +e-x - 2) ≥0. 同理,令m(x) = e2x +e-2x - 2 - 2b(ex +e-x - 2),x∈(0,m),m > 0,则m(0) = 0. m′(x) = 2e2x - 2e-2x - 2b(ex - e-x ),∴∃x∈(0,t),t > 0,使m(x) ≥0. 即2e2x - 2e-2x - 2b(ex - e-x ) ≥0,即(ex +e-x )(ex e-x ) - b(ex - e-x ) ≥0且ex - e-x > 0,即ex +e-x ≥b,即ex +e-x > 2 ex • e-x = 2 ≥b,所以b的最大值为2(3)设x = ln2 > 0,则f (ln2) > 0,即f (ln2)=1 2 - - 2 ln2=2 - ln 2> 0.22解得ln 2< 2 .由(2)知,f (2x) >8 f (x),令x = ln 2 > 0,则f (2 ln 2) >8 f (ln 2), 2即f (ln 2) >8 f (ln 2),即2 - 1 - 2 ln 2>(8 2 - 1 - 2 ln 2),解得226 ln 2> 4 2 - 3,即ln 2> 22 - 1 .所以 22 - 1 < ln 2<2 .234 342请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写清题 号.22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲如图,P 是 e O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 e O 相交 于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交 e O 于点 E.证明:(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)AD  DE=2 PB2

【答案】 【解析】 (1)(1) 无(2)无 PC = 2PA, PD = DC ,∴PA = PD,Δ PAD为等腰三角形。

连接AB,则∠PAB =∠DEB =β ,∠BCE =∠BAE =α .  ∠PAB +∠BCE =∠PAB +∠BAD =∠PAD =∠PDA =∠DEB +∠DBE ∴β+α = β+∠DBE, 即α =∠DBE,即∠BCE =∠DBE,所以BE = EC.(2) AD • DE = BD • DC, PA2 = PB• PC, PD= DC = PA, ∴BD • DC= (PA- PB)PA = PB• PC - PB• PA = PB(• PC - PA) PB• PA = PB• 2PB= PB223. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为  2cos ,0, 2 .(Ⅰ)求 C 的参数方程;(Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y  3x  2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.所以 D 点坐标为 (1 3 , 1 ) 或 (1 3 ,  1 ) 。

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24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲设函数fx=x1 axa(a0)(Ⅰ)证明: f  x ≥2;(Ⅱ)若 f 3  5,求 a 的取值范围.